Coeficiente o Relación de Amortiguamiento en Sistemas Estructurales
Descripción y Desarrollo:
En el análisis estructural siempre se menciona que un sistema estructural se deberá de calcular y diseñar tomando en cuenta un «5 por ciento de amortiguamiento», además, las normativas de diseño sísmico presentan mapas de peligrosidad sísmica con valores (PGA, SS, y S1, por ejemplo) calculados también para un amortiguamiento al 5 por ciento. Entonces parece que lo usamos con frecuencia, pero como suele suceder, quizá no conozcamos el porqué de su presencia en nuestros cálculos, y más aún, ahora que el trabajo pesado lo hacen las computadoras por medio de programas y el calculista pierde valor para ser sólo un operador más (ya que el requerimiento actual es que todo se haga de forma automatizada).
Adrede, en el párrafo anterior, me he referido al «5 por ciento de amortiguamiento», ya que es coloquialmente cómo se usa, pero realmente es el «5 por ciento de la Relación de Amortiguamiento». ¿Qué es esta «Relación de Amortiguamiento» y qué unidades tiene?, para esto debemos revisar breve y ligeramente algunos conceptos de la Dinámica Estructural.
En un sistema estructural, el movimiento del terreno, genera deformaciones no fuerzas, desarrolla aceleraciones a nivel de los entrepisos (asumiendo modelos de parámetros concentrados o «lumpeados»). Se pueden asumir fuerzas, que realmente son ficticias, como resultado de este movimiento y poder plantear modelos matemáticos. En oposición a las «fuerzas» que genera el movimiento del terreno están las fuerzas inerciales (masa por la aceleración), las fuerzas debido a la rigidez del sistema (rigidez traslacional o lateral por el desplazamiento), y las fuerzas debido al amortiguamiento del sistema (coeficiente de amortiguamiento por la velocidad), esto se puede resumir en la siguiente ecuación para sistemas en vibración forzada amortiguada:
[latex]m\ddot { u } +c\dot { u } +ku=F(t)[/latex]
La ecuación presentada es una ecuación diferencial de segundo grado, el cual para movimiento libre F(t) = 0. El coeficiente de amortiguamiento, c, indicado en la ecuación tiene unidades «fuerza/velocidad» y no es la «Relación de Amortiguamiento», este coeficiente se puede calcular con métodos de ensamblaje al igual que la rigidez o tomando formulaciones como las de Rayleigh. El amortiguamiento de un sistema estructural es complejo de modelar de forma precisa, por lo que se utiliza el concepto de amortiguamiento viscoso equivalente (amortiguador, dashpot, en los modelos matemáticos) que es bastante preciso para nuestros objetivos. El amortiguamiento del sistema es el inherente, que se produce por la fricción entre las partículas que forman el material de una estructura, se incrementa con el agrietamiento. También existe el concepto de amortiguamiento «añadido» debido al uso de dispositivos de amortiguamiento que se «añaden» a una estructura. La respuesta de una estructura es menor cuando el amortiguamiento es mayor, de ellos que se busque incluir amortiguamiento adicional y que una estructura trabaje elásticamente.
La ecuación previa, en movimientos libres, tiene solución en forma exponencial decreciente. Analizándola como un sistema en movimiento no forzado se puede reducir a una ecuación que recibe el nombre de «ecuación característica», que tendrá, vía solución cuadrática, dos raíces que nos permitirán obtener la solución final y(t).
[latex]m{ p }^{ 2 }+cp+k=0[/latex]
[latex]\begin{matrix} { p }_{ 1 } \\ { p }_{ 2 } \end{matrix}=-\frac { c }{ 2m } \pm \sqrt { { \left( \frac { c }{ 2m } \right) }^{ 2 }-\frac { k }{ m } } [/latex]
[latex]\begin{matrix} y(t)={ C }_{ 1 }{ e }^{ { p }_{ 1 }t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ { p }_{ 2 }t } \end{matrix}[/latex]
Dependiendo del resultado del radical tendremos tres tipos de comportamiento.
Sistemas Críticamente Amortiguados
SI el radical es igual a cero, se tiene un coeficiente de amortiguamiento que se conoce como «crítico», el cual resulta como
[latex]{ c }_{ cr }=2\sqrt { km } [/latex]
Una vez se planteen valores iniciales se puede obtener la solución para sistemas con amortiguamiento crítico (ver la Figura 02). Este comportamiento no genera oscilaciones, quiere decir que el sistema inicia y decae con el tiempo hasta retornar a su estado en reposo (sólo valores positivos y ninguno negativo en la Figura 02).
Sistemas Sobre – Amortiguados
Si el radical es positivo estamos ante sistemas sobreamortiguados, donde el valor del coeficiente de amortiguamiento es mayor al crítico. De forma similar a los sistemas con amortiguamiento crítico, estos sistemas no generan oscilaciones, pero el tiempo que tardan en volver a su estado de desplazamiento cero es mayor al que se tiene en el crítico (ver la Figura 03).
Sistemas Sub – Amortiguados
Si el radical tiene un valor negativo, coeficiente de amortiguamiento menor al valor del crítico, la solución es un número complejo y tiene la siguiente forma:
[latex]y(t)={ e }^{ -\left( \frac { c }{ 2m } \right) t }\left( A\cos { { \omega }_{ D }t } +B\sin { { \omega }_{ D }t } \right) [/latex]
donde A y B son constantes y [latex]{ \omega }_{ D }[/latex] es la frecuencia circular natural del sistema amortiguado, que es igual a
[latex]{ \omega }_{ D }=\sqrt { \frac { k }{ m } -{ \left( \frac { c }{ 2m } \right) }^{ 2 } } [/latex]
La frecuencia circular natural [latex]{ \omega }[/latex] es
[latex]\omega =\sqrt { \frac { k }{ m } } [/latex]
Por facilidad en nuestros cálculos y no tener la necesidad de evaluar realmente el coeficiente de amortiguamiento, podemos plantear una «Relación de Amortiguamiento» entre el amortiguamiento real y el crítico de una estructura como
[latex]\xi =\frac { c }{ { c }_{ cr } } [/latex]
Esta relación por tanto se puede expresar en tanto por uno o en tanto por ciento. La frecuencia circular amortiguada quedará como
[latex]{ \omega }_{ D }=\sqrt { 1-\xi ^{ 2 } } [/latex]
En la Figura 04 se presenta la solución de sistemas sub-amortiguados, nótese el movimiento oscilatorio con amplitudes positivas y negativas en decremento con el tiempo.
Conclusiones:
Se ha presentado de forma resumida los parámetros «coeficiente de amortiguamiento» y «relación de amortiguamiento», que si bien están relacionados se trata de dos parámetros distintos con unidades distintas. Dependiendo del sistema estructural la «Relación de Amortiguamiento» varía (entre el 2 por ciento en sistemas convencionales y comportamiento lineal elástico hasta más del 20 por ciento en sistemas con amortiguamiento añadido), pero se toma entonces un valor promedio que es el 5 por ciento de forma general. En la bibliografía se pueden encontrar valores de esta relación para distintos sistemas. Dependiendo de los requisitos de cálculo el valor de la relación podría ser distinto al 5 por ciento, por tanto deberíamos de modificar este valor tanto para la demanda como para la capacidad, en caso sea necesario (por lo general, no se tiene este requisito y se usa sólo el 5 por ciento).
No se ha querido profundizar en las ecuaciones y formulaciones. Una forma de evaluar la «Relación de Amortiguamiento» en una estructura es mediante el decremento logarítmico, en el cual se miden, en ensayos a escala real (ante terremotos reales o generando fuerzas que generen oscilaciones en un edificio), amplitudes de ondas simultáneas alcanzadas (logaritmo natural de la relación de amplitudes de desplazamiento). El interesado en profundizar las formulaciones matemáticas y la técnica del decremento logarítmico puede consultar libros de Dinámica Estructural. A continuación presento el script en el programa Matlab utilizado para la obtención de las figuras. En el script se usa una formulación general, dejando que el programa evalúe los resultados de los tres tipos de comportamiento (sin solucionar el radical de forma independientemente).
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% Comunidad para la Ingeniería Civil
% Artículo: Coeficiente o Relación de Amortiguamiento en Sistemas Estructurales
% Enlace: https://www.cingcivil.com/?p=1894
% Autor: Vlacev Toledo Espinoza
% Script desarrollado para evaluar el desplazamiento en sistemas
% con distintas relaciones de amortiguamiento
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%% Limpieza General
clear
close all
clc
%% Sección 01: Datos Generales
p=10; %peso en kg
m=p/9.81; %masa en kg-s2/m
k=0.1; %rigidez en kg/m
y0=2; %Amplitud inicial
v0=0.5; %Velocidad inicial
w=sqrt(k/m); %frecuencia angular no amortiguada
Ccr=2*sqrt(k*m); %cálculo del amortiguamiento crítico
tu=100; %tiempo máximo para el gráfico
t=0:0.001:tu; %vector para el tiempo
%% Sección 02: Ecuación General
E=[0.05 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.0 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00]; %relaciones de amortiguamiento
for i=1:length(E);
mu=(E(i)*Ccr/2/m);
for j=1:length(t);
mov(j,i)=(mu*y0+sqrt(mu^2-(k/m))*y0+v0)*exp((-mu+sqrt(mu^2-(k/m)))*t(j))/(2*sqrt(mu^2-(k/m)))+(-mu*y0+sqrt(mu^2-(k/m))*y0-v0)*exp((-mu-sqrt(mu^2-(k/m)))*t(j))/(2*sqrt(mu^2-(k/m)));
end
end
figure(1)
plot(t,mov,'linewidth',2);
title({'Variación del Desplazamiento para Sistemas con Diversos Valores del Amortiguamiento';''})
xlabel('tiempo (s)')
ylabel('Amplitud de Desplazamiento, y(t)')
legend('\xi = 5%','\xi = 10%','\xi = 20%','\xi = 40%','\xi = 60%','\xi = 80%','Ccr','\xi = 120%','\xi = 140%','\xi = 180%','\xi = 200%')
grid on
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Referencias:
- Apuntes de los Diplomados “La Ingeniería Sísmica y el Cálculo y el Diseño Estructural Aplicado a Edificios” y “El Cálculo y el Diseño Estructural Aplicado a Edificios de Concreto Armado y Albañilería«
- The Mathworks Inc. Matlab.
- American Society of Civil Engineers, (2010). “Minimun Design Loads for Buildings and Other Structures”, ASCE/SEI 7. ASCE, Reston-Virginia.
- Mario Paz y William Leigh, (2004). “Structural Dynamics”. Fifth Edition. Kluber Academic Publisher, Norwell-Massachusetts.
Coeficiente o Relación de Amortiguamiento en Sistemas Estructurales
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